Rectas

Una recta en el plano está descrita por la ecuación:

\[\begin{equation} y = mx+b, \end{equation}\]

donde \(m\) es la pendiente y \(b\) es el intercepto. Todos los puntos de la recta satisfacen esta ecuación.

En un programa, una recta puede ser representada como una tupla (m, b).

Los algoritmos para resolver los siguientes ejercicios seguramente usted los aprendió en el colegio. Si no los recuerda, puede buscarlos en su libro de matemáticas favorito o en internet.

Ejercicio 1

Escriba la función punto_en_recta(p, r) que indique si el punto p está en la recta r:

Ejemplos

>>> recta = (2, -1)     # esta es la recta y = 2x - 1
>>> punto_en_recta((2, 3), recta)
True
>>> punto_en_recta((0, -1), recta)
True
>>> punto_en_recta((1, 2), recta)
False

Ejercicio 2

Escriba la función son_paralelas(r1, r2) que indique si las rectas r1 y r2 son paralelas, es decir, no se intersectan en ningún punto.

Ejercicio 3

Escriba la función recta_que_pasa_por(p1, p2) que entregue la recta que pasa por los puntos p1 y p2:

Ejemplos

>>> recta_que_pasa_por((-2, 4), (4, 1))
(-0.5, 3.0)

Puede comprobar que la función está correcta verificando que ambos puntos están en la recta obtenida:

>>> p1 = (-2, 4)
>>> p2 = (4, 1)
>>> r = recta_que_pasa_por(p1, p2)
>>> punto_en_recta(p1, r) and punto_en_recta(p2, r)
True

Ejercicio 4

Escriba la función punto_de_interseccion(r1, r2) que entregue el punto donde las dos rectas se intersectan. Si las rectas son paralelas, la función debe retornar None.

Ejemplos

>>> r1 = (2, 1)
>>> r2 = (-1, 4)
>>> punto_de_interseccion(r1, r2)
(1.0, 3.0)

Solución

# Pregunta 1
def punto_en_recta(p, r):
    x, y = p # Desempaquetar punto (x, y)
    m, b = r # Desempaquetar recta (pendiente, intercepto)
    # Si un punto pertenece a la recta se cumple que x * m + b = y
    return y == x * m + b

# Pregunta 2
def son_paralelas(r1, r2):
    # Desempaquetar rectas
    m1, b1 = r1 
    m2, b2 = r2
    # Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinto intercepto (comentario en clases)
    return m1 == m2 and b1 != b2

# Pregunta 3
def recta_que_pasa_por(p1, p2):
    # Desempaquetar puntos
    x1, y1 = p1 
    x2, y2 = p2
    # Pendiente 
    m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
    # Intercepto, basta despejar la ecuacion de la recta y = mx + b => b = y - mx
    b = y1 - m *x1 # Se puede hacer con x2, y2 tambien
    recta = (m, b) # Nueva recta
    return recta

# Pregunta 4
def punto_de_interseccion(r1, r2):
    if son_paralelas(r1, r2): # Rectas paralelas
        return None
    else:
        # Desempaquetar rectas
        m1, b1 = r1
        m2, b2 = r2
        # Se debe buscar el punto (x,y) igualando ambas ecuaciones
        # m1 * x + b1 = m2 * x + b2 
        # => x = (b2 - b1) / (m1 - m2)  
        x = (b2 - b1) / (m1 - m2) 
        # y se puede obtener evaluando x en cualquiera de las rectas
        y = m1 * x + b1
        return (x, y)

# Pruebas #
# Pregunta 1
recta = (2, -1) # esta es la recta y = 2x - 1
print(punto_en_recta((2, 3), recta))
print(punto_en_recta((0, -1), recta))
print(punto_en_recta((1, 2), recta))

# pregunta 3
print(recta_que_pasa_por((-2, 4), (4, 1)))
# Verificacion sugerida
p1 = (-2, 4)
p2 = (4, 1)
r = recta_que_pasa_por(p1, p2)
print(punto_en_recta(p1, r) and punto_en_recta(p2, r))

# Pregunta 4
r1 = (2, 1)
r2 = (-1, 4)
print(punto_de_interseccion(r1, r2))