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Producto matriz-vector

Sea \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) una matriz y \(\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n\) un vector, definidos como:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n, n} \\ \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}. \]

El producto matriz-vector se calcula de la siguiente manera:

\[ A\,\mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n, n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1, 1}\,b_{1} + a_{1, 2}\,b_{2} + \dots + a_{1, n}\,b_{n} \\ a_{2, 1}\,b_{1} + a_{2, 2}\,b_{2} + \dots + a_{2, n}\,b_{n} \\ \vdots \\ a_{n, 1}\,b_{1} + a_{n, 2}\,b_{2} + \dots + a_{n, n}\,b_{n} \end{pmatrix} \]

o escrito de forma compacta

\[ A\,\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n a_{1, i}\,b_i \\ \sum_{i=1}^n a_{2, i}\,b_i \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^n a_{n, i}\,b_i \\ \end{pmatrix}. \]

Desarrolle un programa que calcule el producto matriz-vector para un valor de \(n\) ingresado por usuario. El programa debe mostrar la matriz y el vector y finalmente el producto.

Puede generar la matriz \(A\) y el vector \(\mathbf{b}\) con valores aleatorios utilizando el siguiente código:

Example

from random import random

def crear_vector(n):
    v = []
    for i in range(n):
        v.append(random())
    return v

def crear_matriz(n):
    m = []
    for i in range(n):
        m.append(crear_vector(n))
    return m

Ejemplo

Ingrese n: 4
A: 
0.29897956887511123 0.4854449886464737 0.6208100585958172 0.09177889843579046 
0.9185016249163171 0.9914276017940338 0.11848324268473831 0.6943613227580757 
0.5430249582511094 0.16139741654489315 0.5672829232809159 0.5307077861481704 
0.39333373239457714 0.6079569057108376 0.023416842116470327 0.012533574907011902 

b: 
0.13577465224021967
0.32505790640569954
0.272909157229402
0.4923975548377869

Ab: 
0.41300803374191936
0.8212175987039882
0.5423284519216363
0.2635881219700423
Solución 
from random import random

# Función para crear un vector de n elementos con valores aleatorios
def crear_vector(n):
    v = []
    for i in range(n):
        v.append(random())
    return v

# Función para crear una matriz de n x n elementos con valores aleatorios
def crear_matriz(n):
    m = []
    for i in range(n):
        m.append(crear_vector(n))
    return m

# Función para mostrar un vector
def mostrar_vector(v):
    for e in v:
        print(e)

# Función para mostrar una matriz
def mostrar_matriz(m):
    for fila in m:
        f = "" # Se crea un string vacio para visualizar la fila
        for e in fila:
            f += str(e) + " " # Se agrega un espacio para visualizar
        print(f)

# Función para calcular el producto matriz-vector
def producto_matriz_vector(A, b):
    n = len(b)
    Ab = [] # Se crea un vector vacío para guardar el producto
    for i in range(n): # Se recorre cada fila i
        c = 0 # Se crea una variable para guardar el elemento c_i
        for j in range(n): # Se recorre cada elemento j de la fila i
            c += A[i][j] * b[j] # Se calcula el elemento c_i
        Ab.append(c) # Se agrega el elemento c_i al vector
    return Ab # Se retorna el vector


# Solicitar n
n = int(input("Ingrese n: "))

# Crear matriz y vector
A = crear_matriz(n)
b = crear_vector(n)

# Mostrar matriz
print("A: ")
mostrar_matriz(A)
print()

# Mostrar vector
print("b: ")
mostrar_vector(b)
print()

# Producto matriz-vector
Ab = producto_matriz_vector(A, b)

# Mostrar producto
print("Ab: ")
mostrar_vector(Ab)

Producto matriz-matriz

Sean \(A, B\in\mathbb{R}^{n\times n}\) matrices definidas como:

\[ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n, n} \\ \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1, n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \cdots & b_{n, n} \\ \end{pmatrix}. \]

El producto de matrices se calcula de la siguiente manera:

\[ \begin{split} A\,B &= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n, n} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1, n} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & \cdots & b_{n, n} \\ \end{pmatrix} \\[1em] &= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^n a_{1, i}\,b_{i, 1} & \sum_{i=1}^n a_{1, i}\,b_{i, 2} & \dots & \sum_{i=1}^n a_{1, i}\,b_{i, n} \\ \sum_{i=1}^n a_{2, i}\,b_{i, 1} & \sum_{i=1}^n a_{2, i}\,b_{i, 2} & \dots & \sum_{i=1}^n a_{2, i}\,b_{i, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum_{i=1}^n a_{n, i}\,b_{i, 1} & \sum_{i=1}^n a_{n, i}\,b_{i, 2} & \dots & \sum_{i=1}^n a_{n, i}\,b_{i, n} \end{pmatrix}. \end{split} \]

Extienda su programa anterior o desarrolle uno nuevo para calcular el producto de matrices. El programa debe solicitar el valor de \(n\), mostrar las matrices y luego el resultado. Puede generar las matrices con valores aleatorios utilizando el código de la sección anterior.

Ejemplo

Ingrese n: 3
A: 
0.7579130713983545 0.7051866951144764 0.7093682532601882 
0.6835898432342268 0.5076784751826147 0.7544466570278985 
0.2875664351545816 0.10466389947529275 0.8882499269287549 

B: 
0.8871720889936138 0.06174559217119968 0.9311381318484788 
0.3335438666265823 0.11681278877449985 0.8556315217419117 
0.3278333631933946 0.34297234504926755 0.26754793936057886 

AB: 
1.1401646000190586 0.37246630919492857 1.4988917408659321 
1.0231276557758922 0.36026633733502067 1.272752924301118 
0.5812288776290825 0.33462720223749903 0.5949672423786242
Solución 
from random import random

# Función para crear un vector de n elementos con valores aleatorios
def crear_vector(n):
    v = []
    for i in range(n):
        v.append(random())
    return v

# Función para crear una matriz de n x n elementos con valores aleatorios
def crear_matriz(n):
    m = []
    for i in range(n):
        m.append(crear_vector(n))
    return m

# Función para mostrar una matriz
def mostrar_matriz(m):
    for fila in m:
        f = "" # Se crea un string vacio para visualizar la fila
        for e in fila:
            f += str(e) + " " # Se agrega un espacio para visualizar
        print(f)

# Función para calcular el producto matriz-matriz
def producto_matriz_matriz(A, B):
    n = len(A) # Se asume que A y B son matrices cuadradas
    C = [] # Se crea una "matriz" vacía para guardar el producto 
    for i in range(n): # Se recorre cada fila i
        fila = [] # Se crea una fila vacia para guardar los elementos de la fila i
        for j in range(n): # Se recorre cada columna j
            c = 0 # Se crea una variable para guardar el elemento c_ij
            for k in range(n): # Se recorre cada elemento k de la fila i y columna j
                c += A[i][k] * B[k][j]
            fila.append(c) # Se agrega el elemento c_ij a la fila
        C.append(fila) # Se agrega la fila a la matriz
    return C


# Solicitar n
n = int(input("Ingrese n: "))

# Crear vector y matriz
A = crear_matriz(n)
B = crear_matriz(n)

# Mostrar matrices
print("A: ")
mostrar_matriz(A)
print()
print("B: ")
mostrar_matriz(B)
print()

# Producto matriz-vector
print("AB: ")
AB = producto_matriz_matriz(A, B)

# Mostrar producto
mostrar_matriz(AB)